Cauchy sequence

cauchy sequence（コーシー列）は、数学、特に解析学や位相空間論において非常に重要な概念です。直感的には、列の項が進むにつれて、項同士の距離が限りなくゼロに近づいていくような列を指します。この性質を持つ列は、ある一点に収束する可能性が高いと考えられます。

完備性と収束の関係

cauchy sequenceの最も重要な点は、その空間が完備であるかどうかによって意味合いが変わることです。完備距離空間（例えば実数空間）においては、すべてのcauchy sequenceが必ずその空間内の点に収束します。一方で、完備でない空間（例えば有理数空間）では、項同士は近づき続けていても、収束先となる点がその空間内に存在しない場合があります。このように、cauchy sequenceは空間の穴を特定し、完備化を行うための基礎となります。

convergent sequenceとの違い

convergent sequence（収束列）は、あらかじめ定義された特定の極限値に向かって進む列であるのに対し、cauchy sequenceは極限値が何であるかを知らなくても、項同士の距離だけを見て収束の可能性を判断できるという特徴があります。つまり、convergent sequenceであれば必ずcauchy sequenceになりますが、逆は空間の完備性に依存します。