limit point

数学、特に位相空間論や解析学において、limit point（集積点）は集合の密度や収束性を理解するための基礎的な概念です。ある点が集積点であるということは、その点の周囲にどれほど小さな範囲を取ったとしても、必ずその集合に属する別の点が存在することを意味します。これは単に集合に含まれていることとは異なり、その点が集合の点によって囲まれているあるいは限りなく近づかれている状態を指します。

孤立点との対比

limit point を理解する上で重要なのが isolated point（孤立点）との違いです。孤立点は、その点の周囲に十分小さな範囲を取ると、その点以外に集合の点が含まれない状態を指します。例えば、集合 {1, 1/2, 1/3, ...} において、各要素は孤立点ですが、0は limit point となります。なぜなら、0のいかなる近傍にも集合の要素が無限に含まれているからです。

収束点との関係

しばしば accumulation point や cluster point とも呼ばれます。これらは基本的に同じ意味で使われますが、文脈によって使い分けられることがあります。特に数列の文脈では、数列の項が限りなく近づく点として limit（極限）という言葉が使われますが、limit point はより一般的に集合の構造的な性質を記述するために用いられます。例えば、ある数列が複数の異なる集積点を持つ場合、その数列は一つの値に収束しませんが、それぞれの集積点に向かって部分的に集まっていると言えます。