coset

coset（剰余類）は、代数学、特に群論における基礎的な概念です。ある群とその部分群があるとき、部分群の要素に特定の要素を掛け合わせることで得られる集合を指します。この概念は、群を等しいサイズの断片に分割する仕組みを提供し、群の構造を解析するための強力なツールとなります。

左剰余類と右剰余類

剰余類には、掛け合わせる要素を左から掛けるleft coset（左剰余類）と、右から掛けるright coset（右剰余類）の二種類があります。一般的に、群が可換（アーベル群）である場合はこれら二つは一致しますが、非可換群においては異なる集合になることがあります。この区別は、正規部分群の定義を理解する上で非常に重要です。

正規部分群との関係

ある部分群のすべての左剰余類と右剰余類が一致する場合、その部分群はnormal subgroup（正規部分群）と呼ばれます。正規部分群が存在することで、剰余類それ自体を要素とする新しい群であるquotient group（剰余群）を構成することが可能になります。これにより、複雑な群をより単純な構造に分解して分析できるようになります。