outer product

outer product（外積）は、線形代数において二つのベクトルから行列を生成する演算です。一般的に、ベクトルを列ベクトルとして扱い、その転置行列と別の列ベクトルを掛け合わせることで得られます。この操作により、元のベクトルの次元が拡張され、より高次元の構造を持つ行列が作成されます。

内積との概念的な違い

inner product（内積）が二つのベクトルから一つのスカラー値を導き出し、ベクトル間の類似度や角度を測定するのに対し、outer productは行列という構造的なデータを生成します。内積が情報を凝縮させる操作であるのに対し、外積は情報を展開させ、二つのベクトルのすべての組み合わせによる積を網羅する操作であると言えます。

数学的文脈における注意点

物理学や三次元幾何学の文脈では、cross product（ベクトル積）のことを日本語で外積と呼ぶことが非常に一般的です。しかし、純粋な線形代数の文脈におけるouter productは、結果がベクトルではなく行列になる演算を指します。そのため、学習者は文脈に応じて、それがベクトルを生成するcross productなのか、行列を生成するouter productなのかを明確に区別する必要があります。