orthonormal

orthonormalは、数学、特に線形代数や量子力学において非常に重要な概念です。この言葉はorthogonal（直交する）とnormalized（正規化された）という二つの条件を同時に満たしている状態を指します。つまり、集合内の任意の二つの異なるベクトルが互いに直交しており、かつ、すべてのベクトルの長さ（ノルム）がちょうど１である場合にのみ使用されます。

orthogonalとの違い

orthogonalは単にベクトル同士が直角に交わっていることだけを指しますが、orthonormalはそれに加えて長さが１であるという制約が加わります。例えば、長さが２のベクトル同士が直交している場合、それらはorthogonalではありますが、orthonormalではありません。計算を簡略化するために、あえてベクトルを正規化してorthonormalな基底を作ることは、多くの数学的処理において一般的です。

実用的な文脈での利用

この用語は主に基底ベクトルについて言及する際に使われます。orthonormal basis（正規直交基底）を用いることで、任意のベクトルをその基底の線形結合で表す際の係数を、単純な内積計算だけで求めることができるため、非常に効率的です。物理学の量子力学においては、状態ベクトルがorthonormalであることは、異なる状態が互いに排他的であり、かつ確率の総和が１になるという物理的な要請に対応しています。