semigroup

semigroupは、数学、特に抽象代数学における基本的な構造であり、ある集合に対して結合法則を満たす二項演算が定義されている状態を指します。この概念は、群（group）の定義から単位元の存在と逆元の存在という二つの条件を取り除いた、より緩やかな構造であると言えます。

群との概念的な違い

semigroupとgroupの決定的な違いは、演算の結果が常に集合内に留まること（閉鎖性）と結合法則を満たすことは共通していますが、semigroupには必ずしも単位元（何に演算しても値が変わらない要素）や逆元（演算して単位元に戻す要素）が必要ない点にあります。例えば、正の整数の集合における加法は、結合法則を満たしますが、単位元である０が含まれていないため、groupではなくsemigroupとなります。

数学的応用と拡張

この構造は、計算機科学における形式言語理論やオートマトン理論などで非常に重要な役割を果たします。また、semigroupに単位元が加わったものはモノイド（monoid）と呼ばれ、さらに逆元まで備わったものがgroupへと発展します。このように、代数構造の制約を段階的に緩めることで、より広範な数学的対象を記述することが可能になります。